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中学阶段的数学(竞赛)学习

中学阶段的数学竞赛)学习

武汉学而思高端班主管 田赟

现在正值大家小升初如火如荼的时期,各种小升初的攻略层出不穷,大家的目的就是进入一所好的初中,开始初中的学习。我想这么忙的时候要不要给大家分享点什么,细细思索小升初不是我擅长的领域,但是还是想就我所了解的东西做一些我力所能及的分享。
下面我从 “初中和小学的差别”、“中学竞赛的现状”、“如何正确认识中学竞赛”、“如何走好中学竞赛道路”这几个方面做一些分享吧。

一、初中学习和小学学习的差别

很多学生到了初中之后非常的不适应,因为无论是学的内容,还是思维的模式,和数学本身承担的角色都有了很大的变化。

(一)小奥知识模块化vs初中知识体系化

小学奥数分七大模块“计算、计数、几何、数论、应用题、行程、组合”,模块之间互相独立,每个模块也是一些孤立的知识点的考察,并没有串联成体系。
但是到了初中,知识之间的关联性大大加强,人教版课本上主要分代数和几何两条主线,然后在平面直角坐标系这里把代数和几何进行了融合——代几综合问题,这个也是我们中考压轴题的考法。
然后在竞赛中讲组合数论也梳理成了两条线,虽然初中阶段组合和数论大大的弱化了,但是仍然给高中数学竞赛的组合、数论起到了梳理的作用。
所以到了中学学习,一定要区别小学,学习的时候一定要多梳理新旧知识的相关性,培养总结归纳的习惯,将知识串联成线,形成体系。

(二)小学重思维敏捷vs初中重视严谨

小奥对学生更多的是对孩子进行思维上的培养,要求是快速和准确,不太重视解题过程,所以养成了很多孩子的思维敏捷甚至思维跳跃,外在表现就是很多同学的解题过程也是只有一堆算式和一个答案。
但是当这样的孩子升入了初一就会发现,考试的答案全对,但是经常得不到满分,这会让孩子迷惑和不适。
这是因为初中对孩子的要求不再是速度和准确而已,培养的思维特点也变了,而是思考问题的严谨性,严谨体现在“逻辑”和“规范”。很多学生思维没有扭转过来,仍然重视结果而非解题过程,导致吃了亏而不自知。其实一道题的解题过程,即是一个人思维过程的完美呈现,排版布局、遣词造句无不呈现出这个人的思维。
数学是一门严谨的学科,它对逻辑推理能力的培养起着独特的作用,经过严格的训练,可以使人清晰、有条理地表达自己的思考过程,做到言之有理、落笔有据

(三)小学会做题vs中学会思考

中学数学相比小学有两个巨大的变化:
1、从具体到抽象
进入初中之后学生会发现,几个很大的变化:字母越来越多数、概念越来越抽象,图形变的动态起来,从常见的计算题进化到了推理证明题……
经验告诉我们,初一的孩子难以接受字母,初二的孩子难以理解函数的定义,初三的孩子对相似难以接受。
所以初中的比拼首先要增加对概念的理解、强化对新问题的思考,然后才是做题。

2、数学从基础性到工具属性
小学因为只有数学、语文、英语三门相关性不强的学科,所以小学学数学终归还是停留在做题考试的层面。到了中学一个很大的转变即是,数学逐渐和生活中的应用相结合,向其它学科渗透,比如物理化学。我们需要用数学去解决生活中的一些简单最优化问题,认识生活中的物理化学现象,而这个不仅仅是解题而已,需要我们思考如何讲我们平时所见通过建立模型转化为数学问题。把数学从数学本身解放出来,把数学当成了解其它事物的工具。

其实初中和小学的区别还有很多,我仅仅是就个人感触最深的几点,简单的聊几句,希望各位家长有所收获。


二、如何看待数学竞赛

之前吴峰老师跟我说“老田你的数学那么好,给我们六年级的家长做一些指导吧”,我想“我也就在中学学习的时候比别人努力勤奋一点,在中学的考试的时候有那么一点惊艳的成绩,也没有什么过人之处,还不敢言指导”。但是做为一个老师的立场,从做教育的指导意义的角度,还是答应了做一些分享。
所以有了前面的两部分,但是写到第三部分“如何看待数学竞赛”,我却迟迟没有动笔,一方面是觉得这个话题以我的浅薄资历而言太重了,另一方面是因为我比较慎重于去渲染“竞赛”,当然还有一个原因是因为我的文笔实在是太一般了外加我稳重的个性怕说错而误导了学生和家长。
最近在群里的,不断的有家长问“我们小学学了那么久的奥数到了初中还有必要学吗?”这个问题真的是很经典,经久不衰,一年又一年的重复。每年我都给出了同样的回答“数学竞赛不是必需品,只是一种选择,这种选择是少数人的游戏,但是他能让你更聪明,有更多的选择”

我们先看官方对数学竞赛的说明:“数学竞赛对于开发学生智力,开拓视野,促进教学改革,提高教学水平,发现和培养数学人才都有着积极的作用。”

在在的情况下学习数学竞赛至少有如下三种作用:

1、  各种人才选拔的机会

无论是各高中的网召生考试,还是大学联盟越来越规范的大学自主选拔招生政策,还是大学的丘成桐杯、美国数学建模比赛等数学人才选拔性质的比赛等,带来的一系列保送和出国机会,无不透露出一个共同点:对数学竞赛的侧重甚至是热爱。确实如此,如果想选拔人才,有什么比数学更好的学科。虽说不拘一格降人才,但是学好数学这门古老的学科的人至少不是庸才,事实证明往往都是人才。
这些机会往往只有送给初中阶段就开始学习数学竞赛的孩子具备的,数学的学习也是一个天赋和积累的比拼,这些机会不会是白送的,而是送给有梦想、敢拼搏的少年,用泪水和付出换来的。

2、  应对各种考试改革

学习竞赛的第二个好处是“更稳的心态面对各类考试改革”。近几年最热的教育话题莫过于高考教育改革了,“英语退出高考”,“高中不分文理”,“理综分拆来考”等等
2013年武汉市中考改革,无论是题型的变化,还是题目风格的变化都非常大,一个明显的感觉就是部分中考试题竞赛化。第10题、第16题和第25题的题型考法都偏向与早期的数学竞赛题风格。
2013年武汉市几所高中的自主招生也发生改革,武钢三中考了数学(100分)、物理(50分)和英语(50分),华师一考了数学(100分)、物理(50分)和语文(50分),数学都占了50%的比重。
2013年是大学自主招生改革之后,规范化命题的第一年,理科考察:数学(100分)和物理(100分),文科考察:数学(100分)和语文(100分),无论如何数学是都是必考科目,占比50%。
而近几年非常热闹的高考改革,无论怎么改,都没有说要取消数学削弱数学,反倒是对其他科目的削弱和取消,带来的结果就是数学越来越重要,而且近些年的高考题数学越来越难。
数学竞赛带来的大家能力的提升,可以也足以帮助应付各类改革对数学带来的变化。

3、  回归教育:数学竞赛将我们的基础打的更好

跟很多同事聊,也跟一些教授聊。一个感觉就是:近十年的九年义务教育减负,新课标中把初中的数学减的实在太厉害了。无论是对代数中的因式分解乘法公式、一元二次方程、二次函数,还是几何中的尺规作图,圆以及相似,不知道是对我们中学生没有信心还是觉得没有用,这几块内容都遭到了大大的削弱,事实上这些内容在高中是不会讲的,但是会默认大家都学的非常好,直接拿来运用的地步。所以初中竞赛的一个很大的作用就是将这些消失的知识进行补充,完善我们的知识体系,更好的衔接我们的高中学习。
如果小学是启蒙阶段,教我们认识,那么中学六年就是真正的让我们建立体系学习知识的时候,到了大学就是研究深造了。初中三年便是承上启下的重要时期,是我们打好基础的时候,学习竞赛可以拓宽拓深我们的知识面,提升强化我们的能力,打好一个更扎实的基础。
而且初中的时间其实相对三年的知识量而言大有富余,我们的初三一年基本是拿来复习中考的。
所以初中学习竞赛学习,很多时候并不是为了走竞赛这一条路,而是让我们更好的利用我们的时间,学习到更多的知识产生更多的效益。学习竞赛可以帮助我们打好中学六年学习的基础,打个比方让我们的从一般的砖瓦水泥地基变身钢筋水泥浇灌的地基。

附注:数学教育改革牵一发而动全身。其中一个明证是在2004年全国开始推行《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》,也就是所谓的“数学新课标”。在 2005年两会上,北京大学数学科学学院的姜伯驹院士提出提案,对其进行抨击,认为“数学新课标”取消了原本初中课程设置的《平面几何》,代之以“贴近学 生熟悉的现实生活,使生活和数学融为一体”,这降低了大纲水准,“方向错误”,引起轩然大波。


三、什么样的孩子适合初中竞赛

从数学竞赛的出发点: 开发学生智力,开拓视野,促进教学改革,提高教学水平,发现和培养数学人。从这个角度考虑,我认为:所有有兴趣的孩子都适合学习数学竞赛,但不是每个人都适合走竞赛的路。
事实上每年武汉市参加初中数学竞赛的学生也就4000人左右(2013年武汉中考有3万多人),这意味着不是每个人都适合在竞赛上投入大量的精力。事实上每个人在基础不同,在数学竞赛上的投入和期望也是不尽相同的。为了学生和家长更好的把握自己的能力范围以及对竞赛的投入产出,我把参加数学竞赛的孩子按照需求分为三类:

(一)  培养兴趣,开拓视野

适合学生:适合普遍的学生
目标:中考高分,投入少量精力即可,注意提升视野和培养攻克难题的能力即可。

(二)  联赛获奖,获得名高中的入学资格

适合学生:部分优秀学生,勤奋、进取、有方法,保持恒心有毅力。
目标:联赛奖项,获得网招和分配生名额,并在高中保持竞争力

(三)  热爱数学竞赛,有志于高中数学联赛,甚至从事数学研究

这样的孩子相比上面的学生,不仅要有浓厚的兴趣,卓越的学习能力,坚定的毅力与恒心,还必须附带额外两个特质:
1、   经得起诱惑,耐得住寂寞
2、   经得起鲜花掌声,也经得起挫折与跌倒
这两个特质都是可以引导和培养的,家长要善于发现和引导自己的孩子在这方面的能力。

四、如何进行初中竞赛的学习

初中竞赛可以说是衔接小学竞赛、过渡高中竞赛的一个重要时期。从这个时期开始,一方面要求学生区别于小学学习开始建立体系性的学习,另一方面建立符号公理系统过渡到高中学习的过程。

(一)  小学和中学的知识模块与体系对比

  

  

小学

初中

高中

代数

计算问题,应用题,方程

实数,代数式,方程,函数

函数,三角函数,数列,不等式,向量,复数,解析几何

几何

面积,立体几何,勾股定理

全等,四边形,相似,圆,四点共圆,五心

平面几何,立体几何,几何变换

数论

奇偶,质合,约倍,整除特征,简单同余

整除,同余,不定方程

整除,同余,剩余系,二次剩余,高斯函数不定方程,

组合

计数,逻辑推理,操作,最值,抽屉,容斥

计数,抽屉,容斥,极端原理

组合计数,概率,图论,组合几何

可以看出来:
(1)      小学竞赛是各个独立的知识模块,初中已经开始建立完善的知识体系,比如代数和几何两条线,高中是在初中的知识体系基础之上进行加深和延展扩充;
(2)      组合和数论的考察贯穿了小学、初中和高中,不过在学习方法及解决的问题上变化非常大,不过在初中阶段数论和组合考察的相对较少;

(二)  在武汉市中考政策下,你该如何准备联赛

结合现在武汉市的中考政策,元月调考和四月调考都是网招、资格生、分配生以及重点高中录取的重要依据,所以事实上初三的孩子已经不会把重要精力放在初中数学联赛上面了,所以初二是我们争取获得一等奖的最佳时机。那么如何利用短短的两年时间去把初中整个三年的知识学完,留下充足的时间复习准备初中数学联赛呢?在有限的时间内,合理规划我们的学习进度和积极完成我们的个阶段性的目标,才能实现最值目标。
1、  学习进度
我们给希望在初二就争取获得一等奖的学员推荐了一个详细的学习进度
  

时间

  

学习进度

六升七暑假

初一课内知识+乘法公式

七年级秋季

因式分解+全等

七年级寒假

分式+根式+勾股定理

七年级春节

四边形+一次函数+反比例函数

七升八暑假

一元二次方程+面积问题+相似

八年级秋季

圆+四点共圆二次函数

八年级寒假

三角恒等变形+五心+复习

八年级春季

综合复习(准备联赛)+专题冲刺

八升九暑期

中考过渡/高中衔接

2、  初一的联赛有没有必要参加联赛?
初一参加联赛,不仅仅是一次模考而已,而且对你熟悉联赛的考试模式、题型风格帮助非常大。初一我们有相当一部分学员已经有获得二三等奖甚至一等奖的实力,在学而思,我们每年都有十几名学员获得二三等奖,七一的南同学更是在初一获得了一等奖;事实证明这些获奖学员再来年获得一等奖的概率要远大于其他孩子。
3、  如何考前做好冲刺准备?
(1)体系,考点,题型梳理
按照全国初中数学联赛大纲复习,从代数、几何、梳理、组合的顺序进行复习,要求:熟悉和见过每一种题型和方法。
建议使用:《数学精英大视野》,湖北人民出版社,黄东坡著
(2)专题性突破
针对常考必考的一些专题和知识模块,如二次方程整数根,二次函数代几综合,圆
推荐使用:《全国初中数学联赛赛前辅导》单墫等著,华东师范大学出版社;
(3)熟悉考试题型
通过真题演练,了解和熟悉考试题型和考察模式,了解自己的时间分配和考试技巧。
推荐使用:近10年的全国初中数学联赛真题。

(三)  参考书籍推荐

1、  《奥林匹克小丛书2_因式分解分册》,华东师范大学出版社
使用建议:最好在六升七的暑期把这本书的前8讲完成,并在七年级秋季把这书再整理一遍。
2、  《数学精英大视野》,湖北人民出版社,黄东坡著
使用建议:此书难度较大,重点完成八九年级,当初平时竞赛学习的加深练习,要求在八年级秋季之前完成,并做再次整理
3、  《从课堂到奥数》,中国少年儿童出版社,朱华伟著
使用建议:九年级分册中的一元二次方程和二次函数总结不错,非常适合用来专题复习
4、  《全国初中数学联赛赛前辅导》,华东师范大学出版社,单墫等著
使用建议:专题总结类书籍,适用于联赛前的冲刺总结复习使用
5、 《中等数学》(月刊),天津师范大学.

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